创造高收益并控制风险的量化投资方法

马科维茨的伟大，在于他提出选择投资组合的目标是达到“有效组合”，也就是构建在给定的风险下获取最大预期收益的组合。不同风险下的有效投资组合形成所谓的“有效前沿”。最终的选择，可以通过求解不同风险厌恶水平下的“效用函数”最大化问题来得到。

译者序

这句话，简直了，不太像人话…

在主动管理中，更高的残差收益率、更低的残差风险是必然的偏好。我们采用均值/方差的方式来体现这一点，即用残差收益率减去一个残差风险的二次惩罚项（残差方差的线性惩罚项）。我们称之为“风险调整预期收益率”（risk-adjusted expected return）或“附加值”（value-added）。我们可以用无差异曲线来描述偏好。不同的均值/方差组合，只要它们的附加值相同，我们对它们的偏好就没有差异。每一条无差异曲线都包含一个具有零残差风险的特殊组合，其残差收益率被称为“确定性等价”残差收益率。

第1章 绪论

由于采用了相对的视角，我们会集中于收益率的一个组成部分——残差收益率（residual return），也就是资产收益率中与业绩基准收益率不相关的部分。 信息率（informationratio，IR）是残差收益率的年化预期值与其年化波动率之比。信息率定义了主动投资经理可选的投资机会的集合。信息率越高，主动管理的空间越大。
信息率衡量了主动管理的机会集，它的平方决定了我们产生附加值的能力，信息率越高越好。那么，从哪里寻找更高的信息率呢？投资机会集有哪些来源？根据主动管理基本定律，有两个来源。第一个就是我们预测每只资产残差收益率的能力。我们用信息系数（information coefficient，IC）来衡量这种能力，它是收益率的预测值和实现值之间的相关系数。信息系数是衡量我们预测能力的一个度量。
第二个产生高信息率的来源是广度（breadth，BR），即每年我们能够应用上述预测能力的次数。如果能力水平相同，那么能够预测1000只股票的收益理应好于预测100只。基本定律告诉我们，信息率正比于我们的预测能力和预测广度的平方根：$IR=IC·\sqrt{BR}$。这种观念不仅帮助我们理解理论本身，还能指导我们合理地设计研究策略。

第1章 绪论

传统的资产估值和收益率预测方法更加实用。最经典的就是分红折现模型（dividend discount model），它把净现值的想法应用于估值问题之上。
还有其他结构化的估值和收益率预测方法。一种方法是找出过去表现出色的资产的共同特征，进而找出那些将要表现出色的资产。另一种方法试图运用比较估值法来找出具有相同因子暴露但市场定价却不同的资产。一旦找到，意味着套利机会的出现。还有一种方法是去预测那些由市场定价的因子的收益率。
主动管理即预测。没有预测，基金经理将采用被动投资——持有业绩基准组合。在本书的论述中，预测是指将资产收益率的原始预测信号转化为精炼预测的过程。这种信息处理在主动管理中至关重要。它的基本想法就是预测基本定律：$阿尔法（alpha）=波动率·IC·标准分值$，它是我们将一个标准化的（均值为0，标准差为1）分值转化为一个对残差收益率的预测值（阿尔法）的基本方程。方程中，波动率（volatility）是残差波动率，IC是信息系数——标准分值和收益率实现值的相关系数。信息处理过程以原始信号为输入，首先将它转化为标准分值，然后依次乘以信息系数和波动率，产生最终的阿尔法。

第1章 绪论

CAPM不是预测预期收益的唯一方法，但应该说它是最好的方法。就像本章稍后一节将论证的那样，CAPM自从被提出以来，经受住了学术界和实践界无数严格测试的考验。一种预测预期收益率的替代方法是用历史平均收益率，即股票在之前某段历史上的平均收益率。这不是一个好主意，它有两个主要问题。第一，历史收益率包含了大量的样本误差（如果用已知年化标准差为σ的平稳随机过程生成一列收益率，那么以这列收益率为样本估计出的年化收益率的标准误将是这里Y是指数据（那一列收益率）长度是Y年。不论我们观察的是每日、月度、季度或年度的收益率，结论都是一样的。由于股票年化波动率的典型数值大约是35%，所以即使我们有5年的观测数据，估计误差依然有大约16%！）。第二，股票样本空间随时间变化：新股票不断出现，老股票逐渐消失或合并。股票本身随时间变化：盈利会变，资本结构会变，股票波动率也会变。历史平均是CAPM一致预测的一种糟糕的替代方案。
第二种提供预期收益率的替代方法是套利定价理论（arbitrage pricing theory，APT）。我们将在第7章讨论APT。我们发现APT是主动投资经理的一个有效工具，但它不能作为一致预期收益率的来源。

第2章 一致预期收益率：资本资产定价模型

CAPM基于两个构想：第一个构想是市场组合M，第二个是将任何个股或组合与市场联系起来的贝塔系数（beta coefficient）的概念。理论上讲，市场组合应该包括所有资产：英国的股票、日本的债券、马来西亚的种植园等。在投资实践中，市场组合通常取作某个具有广泛覆盖面的、价值加权的国内股票指数，例如美国的纽交所综合指数（NYSE Composite）、英国的金融时报指数（FTA）或是日本的东证股价指数（TOPIX）。
让我们考虑任意一个组合P，记组合P的超额收益率（excess return）为$r_P$，市场组合M的超额收益率为$r_M$。超额收益率是收益率减去同期无风险资产的收益率。我们定义组合P的贝塔为：
\(\beta_P = \frac{Cov(r_P,r_M)}{Var(r_M)}\)
贝塔正比于组合收益率与市场收益率之间的协方差。它是对未来的一个预测。值得注意的是，市场组合的贝塔值等于1，无风险资产的贝塔值等于0。
贝塔使我们能够将任意组合的超额收益率分解为两个不相关的部分，一个是市场部分，另一个是残差部分。
–
CAPM与有效市场理论虽不相同，但却是一致的。有效市场理论有三种强度：弱有效、半强有效和强有效。弱有效形式认为：只使用历史价格和成交量数据不能战胜市场。半强有效形式认为：只使用公开信息（历史价格、基本面信息、分析师的公开评级等）不能战胜市场。强有效形式认为：投资者无论如何都不能战胜市场（即市场价格包含了一切相关信息）。
CAPM同样认为投资者不能战胜市场，但从一个略微不同的角度。对任何一位持有非市场组合的投资者A，必然存在（至少在等效意义下）与A对称的另一位投资者B，B持有的组合相对于市场的偏离恰好与A的相反。因此，只要不存在“更傻的傻瓜”，我们就不应该预期A与B中的任何一人能够战胜市场。有效市场理论认为不存在“更傻的傻瓜”是由于它认为市场价格反映了一切有用的信息。
将收益率和风险分解为市场部分和残差部分的能力依赖于我们预测贝塔的能力。CAPM进一步认为任何股票（从而任何投资组合）的预期残差收益率为零。

第2章 一致预期收益率：资本资产定价模型

在1992年12月，股票西尔斯（Sears）关于标普500指数的贝塔预测值为1.05。如果标普500指数最终实现的收益率比国库券低5%，那么西尔斯的预期超额收益率是多少？

在资本资产定价模型（CAPM）中，一个资产的预期收益率可以通过以下公式计算：

\[\text{预期收益率} = \text{无风险收益率} + \beta \times (\text{市场收益率} - \text{无风险收益率})\]

其中：

根据题目，如果标普500指数的收益率比国库券低5%，我们可以将市场收益率表示为：

$ \text{市场收益率} = \text{无风险收益率} - 0.05 $

将 $\beta = 1.05$ 和市场收益率的关系代入CAPM公式，我们可以计算出西尔斯的预期收益率：

$ \text{预期收益率} = \text{无风险收益率} + 1.05 \times (\text{无风险收益率} - 0.05 - \text{无风险收益率}) $
$ \text{预期收益率} = \text{无风险收益率} + 1.05 \times (-0.05) $
$ \text{预期收益率} = \text{无风险收益率} - 0.0525 $

西尔斯的预期超额收益率是：

$ \text{预期超额收益率} = \text{预期收益率} - \text{无风险收益率} $ $ \text{预期超额收益率} = (-0.0525) $ $ \text{预期超额收益率} = -0.0525 $

西尔斯的预期超额收益率是 -0.0525 或 -5.25%。

如果标普500指数的长期预期年化超额收益率为7%，那么西尔斯的预期超额收益率是多少？

根据资本资产定价模型（CAPM），一个资产的预期超额收益率可以表示为：

$ \text{预期超额收益率} = \beta \times \text{市场超额收益率} $

其中：

题目中提到标普500指数的长期预期年化超额收益率为7%，西尔斯的贝塔值（$\beta$）为1.05。因此，我们可以计算出西尔斯的预期超额收益率：

$ \text{西尔斯的预期超额收益率} = 1.05 \times 0.07 $
$ \text{西尔斯的预期超额收益率} = 0.0735 $

西尔斯的预期超额收益率是 $0.0735$ 或 $7.35\%$。

假设不同股票的残差收益率之间不相关。股票A的贝塔值为1.15，波动率为35%；股票B的贝塔值为0.95，波动率为33%。如果市场波动率为20%，那么股票A与股票B之间的相关性是多少？哪只股票具有更高的残差波动率？

在资本资产定价模型（CAPM）中，股票的总风险由系统性风险（市场风险）和非系统性风险（残差风险或特定风险）组成。贝塔值（$\beta$）衡量的是系统性风险，而残差波动率（$\sigma_e$）衡量的是非系统性风险。

股票A和股票B的残差波动率可以通过以下公式计算：

$ \sigma_A^2 = \text{总波动率}^2 - \beta_A^2 \times \text{市场波动率}^2 $
$ \sigma_B^2 = \text{总波动率}^2 - \beta_B^2 \times \text{市场波动率}^2 $

其中，$\sigma_A^2$ 和 $\sigma_B^2$ 分别是股票A和股票B的残差波动率，总波动率是股票自身的波动率。

首先，我们计算股票A和股票B的残差波动率：

$ \sigma_{Ae}^2 = 0.35^2 - 1.15^2 \times 0.20^2 $
$ \sigma_{Be}^2 = 0.33^2 - 0.95^2 \times 0.20^2 $
$ \sigma_{Ae}^2 = 0.0696 $
$ \sigma_{Be}^2 = 0.0728 $

接着，我们计算残差收益率的相关性。由于不同股票的残差收益率之间不相关，所以股票A与股票B之间的残差收益率相关性为0。

最后，我们比较残差波动率：

股票A与股票B之间的残差收益率相关性是 $0$。具有更高残差波动率的股票是股票B，其残差波动率为 $0.2698$ 或 $26.98\%$。

怎样的一列预期收益率将使我们100%投资于GE这只股票？

要确定使投资者100%投资于通用电气（GE）股票的预期收益率，我们需要考虑投资者的风险偏好和市场条件。以下是一些关键因素和步骤：

1. 确定GE的预期收益率

首先，我们需要知道GE股票的预期收益率。这通常基于历史数据、财务分析、市场情绪和其他经济指标来预测。

2. 考虑无风险收益率

无风险收益率通常是指政府债券的收益率，这是一个基准，投资者可以无风险地获得这个收益率。

3. 使用资本资产定价模型（CAPM）

CAPM模型可以帮助我们理解预期收益率与风险之间的关系。CAPM模型的公式是： \(E(R_i) = R_f + \beta_i \times (E(R_m) - R_f)\) 其中：

4. 计算GE的预期收益率

如果我们要使投资者100%投资于GE，我们需要确保GE的预期收益率至少与市场提供的收益率相当，或者更高。这意味着GE的预期收益率应该至少等于市场预期收益率加上GE的风险溢价。

5. 考虑投资者的风险偏好

如果投资者是风险厌恶的，他们可能需要更高的预期收益率来补偿持有单一股票的风险。如果投资者是风险中性或风险偏好的，他们可能愿意接受较低的预期收益率。

6. 调整预期收益率

如果GE的当前预期收益率低于市场收益率，公司可能需要采取措施提高其股票的吸引力，如提高盈利能力、增加分红或改善公司治理。

7. 考虑其他投资机会

投资者可能会比较GE的预期收益率与其他投资机会，如其他股票、债券或房地产。如果GE的预期收益率不能竞争，投资者可能会选择其他投资。

结论

要使投资者100%投资于GE，GE的预期收益率需要足够高，以吸引投资者从其他投资机会转向GE。这通常意味着GE的预期收益率应该至少等于或高于市场提供的收益率，同时考虑到投资者的风险偏好和市场条件。

如果需要具体的数字计算，我们需要GE的贝塔系数、当前的无风险收益率、市场的预期收益率等数据。这些数据可以通过财务分析软件、市场研究报告或咨询财务顾问获得。

根据CAPM，主动投资经理的预期残差收益率是多少？

在资本资产定价模型（CAPM）中，主动投资管理者的预期残差收益率（也称为阿尔法，$\alpha$）是指投资组合的实际收益率与根据CAPM模型预期的收益率之间的差额。CAPM模型的公式是：

$ E(R_i) = R_f + \beta_i \times (E(R_m) - R_f) $

其中：

在CAPM框架下，一个主动投资管理者的预期残差收益率（$\alpha$）可以通过以下公式表示：

$ E(R_p) = E(R_i) - [R_f + \beta_i \times (E(R_m) - R_f)] $

或者简化为：

$ \alpha = E(R_p) - (R_f + \beta \times (E(R_m) - R_f)) $

这里的 $ E(R_p) $ 是投资组合的实际预期收益率。

预期残差收益率（阿尔法）的解释：

实际计算：

要计算具体的 $\alpha$，我们需要知道以下数据：

这些数据通常可以通过市场研究、历史数据和财务模型获得。如果一个主动投资管理者声称能够实现正的阿尔法，他们需要展示他们的投资策略如何能够系统地产生超过CAPM模型预测的收益。

最特殊的特征组合包括组合C（最小方差组合）和组合Q（最高夏普率组合，夏普率即为Sharpe ratio，SR）。有效前沿描述了一组特征组合，它们是每个可达到的预期收益率水平下的最小方差组合。利用特征组合的概念，我们可以把CAPM的结论简单表述为“组合Q就是市场组合”。

第2章 一致预期收益率：资本资产定价模型

数学记号

为使表达更清晰，我们约定用普通字体代表标量，用粗体小写代表向量，用粗体大写代表矩阵。
h——风险资产头寸的权重（列向量），即组合在每只风险资产上的投资权重（百分比）；
f——预期超额收益率（列向量）；
μ——CAPM下的预期超额收益率（列向量），当CAPM成立时有f=μ；
V——风险资产超额收益率之间的协方差矩阵（假设非奇异）；
β——资产的贝塔值（列向量）；
e——全1向量（每个元素均为1）；

我们将“风险”定义为超额收益率的年化标准差。

假设

我们考虑单一投资期，投资期内不进行组合再平衡操作。基础假设是：
A1存在一个无风险资产；
A2所有一阶和二阶矩均存在；
A3不存在零风险的全额投资组合；
A4组合C（最小方差的全额投资组合）的预期超额收益率是严格正值。

我们主要在典型的投资期长度内讨论问题，因此在短期内应该存在一只具有确定收益率的投资工具（例如美国国库券）。在稍后的章节中，我们可能会放松假设A4，即最小方差的全额投资组合具有严格正的预期超额收益率。虽然A4在典型的经济实体中肯定是成立的，但它对很多章节技术附录中的结果而言不是完全必要的。

特征组合
资产拥有许多属性，例如贝塔、预期收益率、盈市率（earnings-to-priceratio，EP）、市值、所属经济板块，等等。在本附录中，我们将把每种属性和一个特征组合关联起来。
特征组合可以充分并且唯一地代表定义它的属性（attribute）。特征组合的机制使我们能够通过计算一个组合与特征组合的协方差，来确定该组合对相应属性的暴露度（exposure）。
这个过程是可逆的。我们可以从一个组合开始，找到以它为特征组合的那个属性。
换言之，这个特征组合能够最有效地表达该属性。一旦我们建立了属性和组合之间的一一对应关系，CAPM就变为一个关于属性“预期超额收益率”的特征组合的经济命题。

第2章 一致预期收益率：资本资产定价模型

资本资产定价模型
我们可以通过两个步骤建立CAPM。我们已经完成了步骤1，就是式（2A-36）： \(f=f_Q(\frac{Vh_Q}{\sigma_Q^2})=f_Q\beta_{关于组合Q}\) 它的含义是资产预期超额收益率向量与资产关于组合Q的贝塔值向量成比例。在步骤2中，我们将证明在某些假设下，我们可以推出“组合Q就是市场组合M”这个结论。这个结论意味着市场组合M确实是具有最高夏普率（预期超额收益率与风险的比值）的全额投资组合。

第2章 一致预期收益率：资本资产定价模型

为了简化计算，在这个应用练习中，我们只考虑主要市场指数（MMI）中的资产。MMI是一个由20只股票价格加权构成的指数（你可以认为它是由每只股票各100股构成的一个组合）。同时，定义市值加权主要市场指数（或简称为CAPMMI）为市场组合。

1.现在只考虑MMI中的股票，请构建最小方差全额投资组合（组合C）。每只成分股对该组合的贝塔是多少？

要构建最小方差全额投资组合（也称为组合C），我们需要遵循以下步骤：

  1. 确定每只股票的权重： 最小方差组合是通过最小化组合的总方差来实现的，这通常涉及到解决一个优化问题，其中组合中每只股票的权重与股票的方差和协方差有关。

  2. 计算每只股票的贝塔： 每只股票的贝塔是该股票收益与市场收益之间协方差的度量，相对于市场收益的方差。数学上，股票 $i$ 的贝塔 $\beta_i$ 由下式给出： $ \beta_i = \frac{\text{Cov}(R_i, R_m)}{\text{Var}(R_m)} $ 其中：

    • $\text{Cov}(R_i, R_m)$ 是股票 $i$ 的收益与市场收益之间的协方差。
    • $\text{Var}(R_m)$ 是市场收益的方差。

由于我们只考虑MMI中的股票，并且MMI是一个由20只股票价格加权构成的指数，我们可以假设每只股票在MMI中的权重与其在市场组合中的市值成比例。在这种情况下，每只股票的贝塔可以通过以下方式计算：

  1. 计算市场组合的方差： $ \text{Var}(R_m) = \sum_{i=1}^{20} w_i^2 \sigma_i^2 + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq 20} w_i w_j \text{Cov}(R_i, R_j) $ 其中：
    • $w_i$ 是股票 $i$ 在市场组合中的权重。
    • $\sigma_i^2$ 是股票 $i$ 的方差。
    • $\text{Cov}(R_i, R_j)$ 是股票 $i$ 和股票 $j$ 之间的协方差。

  2. 计算每只股票的协方差： $ \text{Cov}(R_i, R_m) = w_i \sigma_i^2 + \sum_{j \neq i} w_i w_j \text{Cov}(R_i, R_j) $

  3. 计算每只股票的贝塔： $ \beta_i = \frac{\text{Cov}(R_i, R_m)}{\text{Var}(R_m)} $

由于我们没有具体的股票收益数据、方差和协方差，我们无法计算出确切的数值。然而，如果我们假设MMI是一个有效的市场组合，那么每只股票的贝塔将等于1，因为市场组合中的股票的贝塔总是1。

因此，每只成分股对最小方差组合的贝塔是 $\boxed{1}$。

在CAPM预期超额收益率（正比于每只资产关于CAPMMI的贝塔，并且假设CAPMMI的预期超额收益率为6%）的基础上，请构建一个全额投资的有效组合。其中风险厌恶系数取λ=6/σ2市场，σ2市场描述了CAPMMI的风险。

a）该组合的贝塔和预期超额收益率是多少？

b）将该组合与由式（2A-45）描述的组合C和组合Q的线性组合作比较。在本题中，组合Q是CAPMMI

要解决这个问题，我们需要理解资本资产定价模型（CAPM）和有效前沿的概念。让我们一步一步分解。

a) 构建全额投资的有效组合

  1. CAPM预期超额收益率：
    根据CAPM，资产 $i$ 的预期超额收益率由下式给出：
    $ E(R_i) - R_f = \beta_i \times (E(R_m) - R_f) $

    其中 $E(R_m) - R_f$ 是市场的预期超额收益率。

    给定 $E(R_m) - R_f = 6\%$，资产 $i$ 的预期超额收益率为： $ E(R_i) - R_f = \beta_i \times 0.06 $

  2. 风险厌恶系数：
    风险厌恶系数 $\lambda$ 由下式给出：
    $ \lambda = \frac{6}{\sigma_m^2} $

    其中 $\sigma_m^2$ 是CAPMMI（市场组合）的方差。

  3. 有效组合的贝塔和预期超额收益率：
    全额投资的有效组合将具有等于1的贝塔，因为它是市场组合的复制品。因此，该组合的预期超额收益率为：
    $ E(R_p) - R_f = \beta_p \times (E(R_m) - R_f) = 1 \times 0.06 = 0.06 $

    所以，该组合的贝塔是 $\boxed{1}$，预期超额收益率是 $\boxed{6\%}$。

b) 与组合C和组合Q的比较

  1. 组合C： 组合C是最小方差组合，通常由风险最小的资产组成。它的贝塔通常小于1，因为它不是市场组合的复制品。

  2. 组合Q： 组合Q是CAPMMI，即市场组合。它的贝塔是1，预期超额收益率是6%。

  3. 线性组合： 组合C和组合Q的线性组合可以表示为：
    $ \text{组合} = w_C \times \text{组合C} + w_Q \times \text{组合Q} $

    其中 $w_C + w_Q = 1$。

    这个组合的贝塔是：
    $ \beta = w_C \times \beta_C + w_Q \times \beta_Q $

    由于 $\beta_Q = 1$，如果 $\beta_C < 1$，那么 $\beta$ 将取决于权重 $w_C$ 和 $w_Q$。

    这个组合的预期超额收益率是：
    $ E(R_p) - R_f = w_C \times (\beta_C \times 0.06) + w_Q \times 0.06 $

    简化后，我们得到：
    $ E(R_p) - R_f = 0.06 \times (w_C \times \beta_C + w_Q) $

    由于 $w_C + w_Q = 1$，这进一步简化为：
    $ E(R_p) - R_f = 0.06 \times (\beta_C \times w_C + 1) $

    对于全额投资的有效组合，我们有 $w_C = 0$ 和 $w_Q = 1$，所以：
    $ E(R_p) - R_f = 0.06 \times 1 = 0.06 $

因此，全额投资的有效组合的贝塔和预期超额收益率与组合Q相同，即CAPMMI。组合C的贝塔和预期超额收益率将低于组合Q，取决于其在组合中的权重。

风险是一个抽象的概念。经济学家认为风险在个人的偏好中体现。一个人认为有风险的东西在另一人眼中可能没什么风险
我们需要一个可操作的、普适的和客观的风险定义。
在这样的情况下，我们不可以使用一个受主观偏好影响的风险定义。因此，我们要找的风险度量就是经济学家所谓的对不确定性的度量。我们需要一个对称的风险度量。机构投资经理的业绩是通过与业绩基准或者同行的表现相比较来评判的。对机构基金经理来说，低配一只上涨的股票与超配一只下跌的股票同样痛苦。我们需要一个灵活的风险度量。我们所定义的风险应该既适用于个股，也适用于投资组合；既适用于讨论过去实现的风险，也能够对未来任意时期中的风险进行预测。
我们会限于寻找一种能够精确预测的风险度量。部分出于这个原因，我们希望这个风险度量可以从资产的风险自下而上地构建出投资组合的风险。我们不仅需要每一只资产的风险，还需要所有可能的投资组合的风险。因此，我们的风险定义必须同时满足以上条件。同时，我们有几种可供挑选的风险定义，这里将逐一讨论。
首先，所有的风险定义本质上都依赖于收益率的概率分布。概率分布指出了收益率将会有多大的概率落在1%~1.01%，有多大的概率落在1.01%~1.02%等。
标准差衡量了收益率在均值附近分布范围的宽度。
标准差是哈里·马科维茨（Harry Markowitz）对风险的定义，并且之后一直被机构投资界视为风险的标准定义。
对于标准差的批评指出：标准差同时包含了收益率高于和低于均值的情形，而多数投资者认为较低的或者负的收益率才是风险（虽然卖空者持有相反的观点）。这就产生了一种新的风险定义：半方差（semivariance）或下行风险（downside risk）。
损失概率（short fall probability）是另一种风险定义，它可能是最接近人们对风险的直观感受的定义。损失概率是收益率落在目标值以下的概率。 损失概率具有接近风险直观感受的优点，然而，它面临着与下行风险一样的问题：定义模糊、不为人熟知的统计属性、难于预测以及依赖于投资者的个人偏好等。
在险价值（value at risk）是与损失概率类似的一种风险定义。损失概率先取定目标损失值，然后计算收益率低于该数值的概率；而在险价值先取定一个目标概率，例如1%或者5%，然后计算与该概率相应的收益率分位数。 在险价值与损失概率关系紧密，并且具有相同的优缺点。 如上所述，能够满足我们普适、对称、灵活和可精确预测要求的风险定义就是收益率的标准差。
若无特殊说明，我们讨论的风险总是指收益率的年化标准差（以百分之一为单位）。
标准差具有一些有趣的特点。特别地，它不具有组合属性，也即投资组合的标准差不等于组合中各资产标准差的加权平均值。整体风险小于部分风险之和——这是投资组合分散化的关键。
相对风险很重要。如果将一位投资经理的业绩与一个业绩基准做比较，那么该经理的投资组合的超额收益率$r_P$与业绩基准的超额收益率$r_B$之间的差异将至关重要。我们称这个差异为主动收益率（active return），记为$r_{PA}$。相应地，我们定义主动风险$ψ_P$为主动收益率的标准差：
$\psi_P=Std{r_{PA}}=Std{r_P-r_B}$
除了主动风险，还有一种重要的相对风险度量，即残差风险。残差风险是收益率中与系统性收益率正交的那部分的风险。组合P关于组合B的残差风险用$ω_P$表示，定义为:
$\omega_P=\sqrt{\sigma_P^2-\beta_P^2\times\sigma_B^2}$ 其中
$\beta_P=\frac{Cov{r_P,r_B}}{Var{r_B}}$

第3章 风险

建立多因子模型的艺术在于挑选合适的一组因子。寻找因子时只有一个限制条件：所有因子必须都是先验因子（priori factor）。所谓先验因子，是指因子暴露必须在考察期初就能确定。与之相对：因子收益率在考察期初是不确定的，只有到考察期末才能获知。
我们可以将因子分为三大类：对外部变化的响应、资产属性的横截面比较类因子和纯粹的内在或统计因子。

  • 对外部变化的响应
    金融经济学领域的学术文献中流行着一个主题：股票市场和外部经济力量之间应该存在某种可被证实的关联。响应类因子就试图捕获这种关联。这些因子包括对以下外部变化的响应：债券市场收益率（相应因子有时被称为债券贝塔）、通胀异动（unexpected changes ininflation/inflation surprise）、油价变动、汇率变动、工业产量变动，等等。这些因子有时也被称为宏观因子。响应类因子的解释力可能非常强，但他们有三个严重缺陷：
    第一个缺陷是我们必须通过回归分析或者类似的技术来估计这些响应系数。一个包含9种宏观因子覆盖1000只股票的模型每月需要进行1000次时间序列回归；其中每次回归都要用可能是60个月的数据来估计9个响应系数。这可能导致严重的估计误差，通常被称为变量误差问题（error in variables problem）。
    第二个缺陷是我们的估计通常基于过去5年的历史行为。即使能够在统计意义下精确地捕获过去的情况，这些估计值也可能无法精确描述现在的情况。
    第三个缺陷是宏观数据通常由政府采集而不能在市场中被直接观测到，因此其质量不佳。
  • 资产属性的横截面比较类因子
    横截面比较类因子比较股票的各种属性，与股票之外的经济没有直接联系。横截面属性一般可以归为两类：基本面类和市场类。基本面类属性包括各种比率例如分红率（dividend yield）、盈利率（earnings yield）以及分析师对未来每股盈利的预测。市场类属性包括过去某一时段上的波动率、过去某一时段上的收益率、期权的隐含波动率、换手率，等等。市场类属性——例如波动率和动能，某种程度上也存在类似于上一节讨论的外部变化响应类因子的缺陷（如变量误差，非静态性）。不过，这里的因子解释有所不同。我们以考察股票价格在过去12个月的表现（收益率）的动能因子为例。该因子并非用来预测股票表现是会持续还是会反转；它只是意识到过去1年表现较好（或较差）的股票在未来的表现经常有共同之处。动能有时会持续，有时会反转，还有时没有任何影响。我们观察到的事实是：每年中有5~6个月，在控制其他属性的条件下，前期表现较好的股票组与前期表现较差的股票组会有显著不同的表现。对历史波动率或是其他该类因子，我们也观察到相似的现象。根据我们的经验，这些横截面比较类因子是非常有效的因子。
  • 统计因子
    我们也可以收集大量股票的收益率数据，转动一个统计绞肉器的摇把，然后欣赏这个“因子生成器”（factor ex machina）的作品。能被用作因子生成器的统计工具的数目多得超乎想象，常见的有主成分分析（principal component analysis）、最大似然分析（maximum likelihood analysis）和预期最大化分析（expectations maximization analysis）等。你可以使用两步法来先估计因子收益率然后估计暴露度，或者同时估计因子收益率和暴露度，也可以反过来采用Connor and Korajczyk（1988）中使用过的极具创意的方法。我们通常会避免使用统计因子，因为它们的直观含义难以理解，并且这些因子的估计过程很容易受到“伪相关性”的影响。这些统计工具也不能捕获暴露度随时间变化的因子。统计工具依赖于每只资产对每个因子的暴露度在估计时段内都是恒定的。例如，统计模型不能捕获动能因子。 在众多可选因子中，我们只选用满足以下3条准则的因子：有区分能力（incisive）、直观（intuitive）和有意义（interesting）。有区分能力的因子能区分出收益率特征显著不同的股票群。例如，如果我们沿着波动率的维度观察，将发现低波动率股票的表现每年至少有三次与高波动率股票的表现显著不同。这意味着，如果我们不监控投资组合对波动率因子的暴露度，那么我们的收益率可能会频繁发生异动。
    直观的因子与市场的某个易于理解的或者公认的维度相关；即具有直观的经济含义或可信的故事。例如，规模因子将公司分为大型与小型两种。动能因子将近期表现相对较好的股票与表现相对较差的股票区分开。直观的因子来自于公认的投资主题。美国股票市场中的因子包括各个行业因子，以及规模、分红率、价值、成功、波动率、成长性、杠杆、流动性和汇率敏感性。
    有意义的因子能够解释股票表现的某些部分。我们在每个考察期上将一定的收益率归因于每个因子。这些因子能够帮助我们解释超常收益率或贝塔或波动率。例如，大型公司的股票在某些特殊时期的表现显著优于小型公司的股票。再例如，高波动率股票的贝塔值偏高。

我们选用的因子主要是两类：行业因子和风险指数。行业因子衡量不同行业股票之间的行为差异。风险指数衡量行业之外的维度上不同股票群体之间的行为差异。

第3章 风险

看了几章以后，决定不再细读这本书。因为：公式太多，看起来太费劲，像把公式弄懂需要花费太多时间。这些公式太过学术与死板，可能与我快速有效的目标不符