布朗运动是将看起来连成一片的液体，在高倍显微镜下看其实是由许许多多分子组成的。液体分子不停地做无规则的运动，不断地随机撞击悬浮微粒。当悬浮的微粒足够小的时候，由于受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的。在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的撞击作用超强的时候，致使微粒又向其它方向运动，这样，就引起了微粒的无规则的运动就是布朗运动。（布朗运动指的是分子迸出的微粒的随机运动，而不是分子的随机运动。）
即布朗运动代表了一种随机涨落现象。普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。（随机现象的数学定义是：在个别试验中其结果呈现出不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。）而布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。
其概念接近于布朗运动，是布朗运动的理想数学状态。任何分子所带的守恒量都各自对应着一个扩散运输定律。
随机游走过程\(S_t\)遵循几何布朗运动，满足微分方程：
\(dS_t=uS_td_t+σS_tdW_t\)
\(dS_t/S_t=ud_t+σdW_t\)
设定初试状态\(S_0\)，根据伊藤积分，可以解出：
\(S_t=S_0exp((u−σ^2/2)t+σW_t)\)
在数学领域，函数exp(x)代表自然指数函数，即以实数e（e≈2.71828）为底的指数函数。其表达式为exp(x)=\(e^x\)
所以上面的式子也可以写成：
\(S_t=S_0e^{(u−σ^2/2)t+σW_t}\)
其中μ (‘百分比drift’) 和σ (‘百分比volatility’)是常量。
漂移率（Drift Rate）： 在金融领域，漂移率指的是资产价格的平均变动率，用来衡量资产价格的趋势性。例如，股票价格的漂移率可以帮助投资者判断价格的长期趋势
波动率（volatility） 波动性，在金融数学领域，指金融资产在一定时间段的变化性。通常以一年内涨落的标准差来测量。金融市场中，投资的波动性与其风险有着密切的联系。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#rect=[0.1,5.0,0.1,0.1]
fig=plt.figure()
#time span
T=2
#drift factor飘移率
mu=0.1
#volatility波动率
sigma=0.04
#t=0初试价
S0=20
#length of steps
dt=0.01
N=round(T/dt)
t=np.linspace(0,T,N)
#布朗运动
W=np.random.standard_normal(size=N)
W=np.cumsum(W)*np.sqrt(dt)
X=(mu-0.5*sigma**2)*t+sigma*W
S=S0*np.exp(X)
plt.plot(t,S,lw=2)
plt.show()